Главная Статьи Математика Модели оптимизации и координации межотраслевого баланса

Модели оптимизации и координации межотраслевого баланса

Возможность оптимизации МОБ появляется, если коэффициенты прямых затрат отражают затраты не средние по отрасли, а для каждого способа и технологии производства. В таких моделях МОБ представлено отдельно производство мартеновской, конверторной стали, а также электростали; синтетических и хлопчатобумажных тканей и т. д. В результате должен быть найден оптимальный вариант с минимальными затратами на производство данного объема продукции.

Оптимизацию межотраслевого баланса покажем на примере сведения балансовых задач к задачам линейного программирования.

Пусть, как и ранее, заданы векторы X, Y (7.22) и матрица А (7.18), связанные матричным уравнением (7.21).

Допустим, что конечный продукт Y задан не точно, а ограничен снизу, т. е. YВ.

Тогда система уравнений (7.21) заменится неравенствами

(Е - А)ХВ. (7.25)

Очевидно X0. Пусть задан вектор

где— оценка единицы продуктай отрасли, тогда можно сформировать следующую задачу линейного программирования. Выбрать ассортиментный вектор X0, удовлетворяющий системе неравенств (7.25), для которого линейная функция

(7.26)

достигает минимума.

Рассмотрим линейную балансовую модель, характеризующуюся матрицей (n = 3):

Необходимо обеспечить производство конечного продукта, удовлетворяющее ограничению YВ = (180, 130, 220). Производственные мощности 1- и 2-й отраслей ограничивают их валовый выпуск: 400, 300. Валовый выпуск 3-й отрасли практически неограничен.

Определить оптимальный валовый выпуск продукции, т. е. вектор Х=

Задача принимает вид

или

Рассмотренная постановка задачи ЛП характерна для централизованного управления системой в целом. В случае же автономности отраслей возникают задачи анализа на точку равновесия и выработки оптимального координирующего воздействия (см. гл. 3).

Сформулируем данную задачу в обозначениях гл. 3. Имеется n отраслей,я отрасль выпускает продуктв количестве0.

На выпуск единицы продуктазатрачиваетсяпродукта, где — постоянные коэффициенты,. Чистый выпуск продукта

Каждая отрасль стремиться обеспечить выпуск Проанализируем систему на существование точки Нэша.

Примечание: обычно матрицаудовлетворяет следующим условиям:

Индикатор цели дляго элемента

В матричной форме

Решение уравнения существует и, если существует

Известно, что подобный ряд сходится [16], если одна из нормменьше 1. В данном случае таковой являетсянорма:

Следовательно, точка равновесия по Нэшусуществует и единственна.

Рассмотрим нелинейную модель межотраслевого баланса — замкнутую параллельно-последовательную систему (рис. 7.9). Каждая отрасльпроизводитпродуктаго типа,

затрачиваяпродуктов отраслей

в том числе собственный продукт в количестве.

Рис. 7.9. Нелинейная модель межотраслевого баланса

Глобальная цель состоит в удовлетворении планируемого конечного спроса, т. е. задан индикатор глобальной цели

Оптимальный координирующий сигналобеспечивает = 0.

Производственная функцияй отрасли:

Координация состоит в назначении цен на продукты. Локальная цельсостоит в максимизации прибыли:

Определим оптимальный координирующий сигнал. Исследуем возможность существованияв зависимости от свойств и матрицы

Локальная целевая функцияй подсистемы в переменных m

Условия экстремума функций(m)

Отсюда

Подставив данное соотношение в левую часть уравнения , получим

Далее, обозначив

перепишем уравнение в виде

откуда

где

Исследуем полученный результат. Общий выпускго продукта в оптимальной точке:

Окончательно

В стоимостной форме оптимальный выпуск

Затратый отрасли в стоимостной форме

Прибыльй отрасли

Если< 1, т. е.< 1, то прибыль положительна.

Далее, й ресурс потребляется в размерах натурального исчисления

и денежного

Тот же ресурс (продукт) производится в размерах исчислений натуральногои денежного

Всего в денежном исчислении производится, а потребляется.

Система обладает валовой продуктивностью [26], если

Система продуктивна по му ресурсу (продукту), если

.

Поскольку цель системы — удовлетворение некоего конечного спроса

в натуральном исчислении, то система уравнений

в зависимости от А может иметь или не иметь решение

определяя существование оптимального координирующего сигнала.

Сравним рассматриваемую в настоящей задаче модель с линейной моделью (см. выше).

Коэффициенты(элементы матрицы) являются коэффициентами прямых затрат.

В денежном исчисленииесть отношение стоимости го продукта, потребляемогой отраслью, к общей стоимости производимого продукта.

В рассматриваемом случае

Таким образом, в системе, отрасли которой стремятся максимизировать прибыль,является транспозицией матрицы